Θα είναι ο τίτλος της διάλεξης που θα δοθεί στο Δημαρχείο Πεύκης την Τετάρτη 26 Φεβρουαρίου στις 7μμ από τον μαθηματικό και πληροφορικό κ. Γιώργο Πένταρη.
Τί εννοείτε με τον τίτλο της διάλεξης; Υπάρχει περίπτωση τα μαθηματικά να υπάρχουν κάπου και τα ανακαλύπτουμε; Η γενική αντίληψη είναι ότι αυτά είναι καθαρά διανοητικό κατασκεύασμα του ανθρώπινου.
Σωστά μιλάτε και η ερώτησή σας κρύβει ένα βασικό οντολογικό πρόβλημα που ακόμη δεν έχει απαντηθεί οριστικά από τους διανοητές, φιλοσόφους των μαθηματικών. Αν πάμε πίσω στον Πλάτωνα στην θεωρία του των Ιδεών τα μαθηματικά υπάρχουν από μόνα τους στον κόσμο και εμείς τα ανακαλύπτουμε.
Το ίδιο περίπου έλεγε και ο Πυθαγόρας ότι η ουσία του κόσμου είναι τα μαθηματικά και κυρίως η μονάδα από την οποία προέρχονται οι άλλοι αριθμοί και οι αναλογίες ή τα γνωστά μας κλάσματα.
Μας λέτε ότι ο Πυθαγόρας επεξεργάστηκε ένα είδος κοσμολογίας με τα σημερινά δεδομένα;
Ακριβώς έτσι είναι. Είχε δώσει μεγάλη σημασία στους φυσικούς αριθμούς όπως τους ονομάζουμε σήμερα, δηλαδή το ένα το δύο το τρία κτλ. Από τους αριθμούς όπως είπαμε η μονάδα είναι ο γεννήτορας αριθμός που ήταν και η αιτία του κόσμου. Σημαντικό ρόλο έπαιζαν και οι αναλογίες ή τα κλάσματα που σήμερα τους ονομάζουμε ρητούς.
Οι Πυθαγόρειοι στηρίχτηκαν στα κλάσματα ή αναλογίες και ανακάλυψαν τις μουσικές κλίμακες. Πίστευαν δε ότι οι πλανήτες μαζί με τον ήλιο περιστρέφονται γύρω από μια κεντρική φωτιά και σε αποστάσεις που αποτελούν αρμονικές αναλογίες.
Νόμιζα ότι ο Πυθαγόρας είχε ανακαλύψει μόνο το Πυθαγόρειο θεώρημα.
Δυστυχώς αυτό μόνο διδάσκεται στο σχολείο. Στον Πυθαγόρα όμως οφείλουμε το δεκαδικό σύστημα, τις μουσικές κλίμακες και την πρώτη απόπειρα ερμηνείας του κόσμου από μη θεϊκές δυνάμεις.
Διαβάσαμε πριν ένα χρόνο περίπου ότι κάποιες μαθήτριες στην Αμερική έδωσαν μια νέα απόδειξη του Πυθαγορείου θεωρήματος που στηρίζεται στην τριγωνομετρία.
Είναι μια απόπειρα της πολιτικής ορθότητας που έχει εισβάλει και στην μαθηματική επιστήμη. Το Πυθαγόρειο θεώρημα δεν μπορεί να αποδειχτεί με την Τριγωνομετρία γιατί αυτή στηρίζεται στο Πυθαγόρειο θεώρημα. Έχουμε δηλαδή κυκλικό ορισμό. Στην διάλεξη θα είμαι πιο αναλυτικός.
Θεωρείτε εσείς ότι τα μαθηματικά ανακαλύφτηκαν;
Εν μέρη ναι. Για παράδειγμα οι Πυθαγόρειοι θεωρούσαν ότι υπάρχουν οι φυσικοί αριθμοί και τα κλάσματα. Δυστυχώς για αυτούς το Πυθαγόρειο θεώρημα ήταν μοιραίο και οδήγησε στην διάλυση της σχολής τους. Ο λόγος ήταν η ανακάλυψη ενός νέου είδους αριθμών που τους ξέρουμε σήμερα ως δεκαδικούς ή άρρητους όπως π.χ. το 3,14 που μαθαίνουμε στο σχολείο. Η ύπαρξη και η ανακάλυψη των αρρήτων υπέσκαψε τα θεμέλια του Πυθαγόρειου κινήματος, αλλά παρ’ όλα αυτά η συμβολή τους ήταν πολύ μεγάλη για την μαθηματική επιστήμη. Εισήγαγαν την μέθοδο της απόδειξης και η ανακάλυψη των αρρήτων οδήγησε την μαθηματική σκέψη των αρχαίων Ελλήνων σε νέα πεδία έρευνας.
Μπορείτε να φέρετε ένα παράδειγμα;
Σίγουρα. Με το θέμα ασχολήθηκε ο Πλάτωνας στον διάλογο Θεαίτητος. Γίνεται συζήτηση με τον νεαρό Θεαίτητο, ο οποίος αναφέρει για τους άρρητους μέχρι το 17 που είχε μελετήσει ο Θεόδωρος ο Κυρηναίος. Θεωρώ λοιπόν ότι οι άρρητοι προϋπάρχουν στον κόσμο στις σχέσεις μεταξύ ποσοτήτων και ότι εμείς ο άνθρωποι τους ανακαλύψαμε.
Μπορείτε να πείτε ότι και το 3,14 ανακαλύφτηκε;
Βεβαίως και αυτό ανακαλύφτηκε από τους Βαβυλώνιους και Αιγυπτίους, αλλά καθαρά με εμπειρικό τρόπο. Τον ακριβή υπολογισμό του 3,14 ή π και την μέθοδο υπολογισμού του την οφείλουμε στον Αρχιμήδη. Σε αυτό το σημείο θα μπορούσαμε να διακρίνουμε την ανακάλυψη του 3,14 , αλλά και στην επινόηση μεθόδου, αλλά και νεότερων μεθόδων υπολογισμού του. Βλέπουμε δηλαδή ότι στα μαθηματικά έχουμε ανακάλυψη, αλλά και επινόηση.
Στο σχολείο μαθαίνουμε και για την γεωμετρία. Θα αναφερθείτε και σε αυτόν τον τομέα;
Βεβαίως γιατί στον Ευκλείδη οφείλουμε την πρώτη αξιωματική μέθοδο. Στις αξιωματικές μεθόδους οφείλουμε σήμερα την μεγάλη πρόοδο των μαθηματικών. Μη ξεχνάμε ότι το βιβλίο του «Τα Στοιχεία» περιέχει όλη τη γεωμετρία που ένα μικρό μέρος της διδάσκεται σήμερα στα σχολεία γιατί κυριαρχούν τα νέα μαθηματικά των Μπουρμπάκη.
Έχω ακούσει για το πέμπτο αίτημα του Ευκλείδη, ότι σε ένα επίπεδο που υπάρχει μια ευθεία και ένα σημείο του επιπέδου εκτός αυτής, μπορώ να φέρω μόνο μια παράλληλη. Αυτό έχει αποδειχτεί;
Όχι. Έχουν γίνει πολύχρονες προσπάθειες επιφανών μαθηματικών να το αποδείξουν, αλλά εις μάτην. Το θέμα είναι ότι αυτές οι προσπάθειες οδήγησαν τους μαθηματικούς σε νέες ανακαλύψεις μαθηματικών αντικειμένων όπως οι χώροι Ρήμαν. Όταν ανακαλύφτηκαν τον 19ο αιώνα ήταν μια μαθηματική έννοια εντελώς άχρηστη. Το θέμα είναι ότι ο Αϊνστάιν απέδειξε ότι η ύπαρξη μεγάλης συγκέντρωσης μάζας όπως ο ήλιος ή γη κτλ καμπυλώνουν τον χώρο και έχει τις ιδιότητες του χώρου Ρήμαν. Τελικά το ερώτημα αναδύεται μόνο του. Ο χώρος Ρήμαν, αυτή μαθηματική οντότητα ανακαλύφτηκε ή επινοήθηκε;
Όντως, τώρα καταλαβαίνω την ουσία της διάλεξης. Θα αναφερθείτε και σε άλλα θέματα;
Θα μιλήσουμε και για τις διάφορες σχολές σκέψης απέναντι στην οντολογία των μαθηματικών. Μια τέτοια σχολή είναι ο Φορμαλισμός του Γερμανού μαθηματικού Hilbert που μας λέει ότι τα μαθηματικά είναι ένα σύνολο συμβόλων και κανόνων χειρισμού τους και μπορούν να παράγουν κάθε μαθηματικό θεώρημα χωρίς ουσιαστική ανθρώπινη παρέμβαση. Δηλαδή ένας υπολογιστής που έχει όλα τα σύμβολα και τους κανόνες αν τον βάλουμε να δουλέψει θα μπορεί να βγάλει και αποδείξει το πυθαγόρειο θεώρημα για παράδειγμα, αλλά και κάθε άλλο θεώρημα.
Άρα θα έχουμε να ακούσουμε αρκετά πράγματα.
Ακριβώς. Η διάλεξη θα συνοδεύεται και με διαφάνειες και θα κάνουμε και μερικά πειράματα.
Εύχομαι καλή επιτυχία.
Ευχαριστώ.
